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Parábolas

Funciones cuadráticas: las parábolas

La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas son las parábolas.

 

Parábola

 

La forma general de la expresión algebraica de la parábola es $y=f(x)=ax^2+bx+c$ donde $a\neq 0$ y tiene las siguientes características:

  • Tiene un eje de simetría en la recta $x=-\frac{b}{2a}$, que pasa por el vértice. 

  • La coordenada $x$  del vértice es $x=-\frac{b}{2a}$. Por tanto, el vértice es el punto:

                                $V=\left (-\frac{b}{2a},f \left( -\frac{b}{2a} \right) \right)$

  • La parábola tiene las ramas hacia arriba si $a>0$ y tiene las ramas hacia abajo si $a<0$.

  • Los coeficientes $b$ y $c$ sólo trasladan la parábola, no cambian su forma.

  • La parábola es más estilizada cuanto mayor es $a$ en valor absoluto:

   
Parábola

En la siguiente animación mueve los parámetros $a$, $b$ y $c$ y observa cómo varía la ecuación de la gráfica y deduce cómo influyen $a$ y $c$ en la gráfica.

Después traslada la gráfica y observa qué ocurre con la ecuación.

Gráfica a expresión algebraica

Nuestro objetivo es hallar la expresión algebraica de una parábola, $y=ax^2+bx+c$, viendo su gráfica.

Para hallar el coeficiente de $x^2$, nos situaremos en el vértice, avanzamos 1 a la derecha. El coeficiente, $a$ será lo que haya subido $(a>0)$ o bajado $(a<0)$ la variable dependiente hasta encontrarse con la parábola.

El término independiente, $c$, es el corte de la parábola con el eje de ordenadas.

Para averiguar el coeficiente de $x$, $b$, basta con sustituir en la ecuación del eje de simetría: $x=-\frac{b}{2a}$

La siguiente escena de Geogebra nos ayudará a averiguar la ecuación de una parábola dada su gráfica:

Expresión algebraica a gráfica

Ahora queremos realizar el ejercicio contrario, nos dan la expresión algebraica, $f(x)=ax^2+bx+c$ y queremos representar la función. Para ello seguiremos los siguientes pasos:

Primero:

Hallamos el vértice:

  • La coordenada $x$ del vértice es $x_v=-\frac{b}{2a}$

  • La coordenada $y$ del vértice se obtiene sustituyendo la $x_v$, hallada anteriormente, en la expresión algebraica de la función, es decir, $f(x_v)$ 

Segundo:

Calculamos los cortes de la función con los ejes de coordenadas:

  • Con el Eje Y, el punto de corte es el valor del término independiente, $c$.

  • Con el Eje X, tenemos que hacer $f(x)=0$, es decir, tenemos que resolver la ecuación ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0$

Tercero:

Completamos una tabla de valores preferentemente con puntos cercanos al vértice.

Ejercicio resuelto

Dibuja la parábola cuya expresión algebraica es: $y=x^2-4x+1$.

Ejercicios

Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas hallando previamente el vértice y los cortes con los ejes:

  • $f(x)=x^2-2x-3$

  • $f(x)=-x^2+2x$

  • $f(x)=-x^2+4x-4$

  • $f(x)=2x^2+1$

  • $f(x)=2x^2+4x+3$

Cuando hayas terminado, utiliza la siguiente escena de GeoGebra para dibujar las gráficas.

Escribe la ecuación de cada función en la casilla correspondiente