Queremos hallar el punto simétrico $A'\left(x,y\right)$ de un punto $A\left(a_{1},a_{2}\right)$ con respecto a otro punto $C\left(c_{1},c_{2}\right)$.

El punto $C$ es el punto medio de $A$ y $A'$ como podemos comprobar en la siguiente escena. Mueve los puntos \(A \) y \(C \):

En consecuencia del apartado anterior tenemos que

\[C=\frac{A+A'}{2}\Leftrightarrow A'=2C-A \]

En coordenadas:

\[\left(\dfrac{a_{1}+x}{2},\dfrac{a_{2}+y}{2}\right)=\left(c_{1},c_{2}\right)\]

Igualando las coordenadas y despejando:

\[\left.\begin{array}{ccc}\dfrac{a_{1}+x}{2} & = & c_{1}\\\dfrac{a_{2}+y}{2} & = & c_{2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\left.\begin{array}{ccc}x & = & 2c_{1}-a_{1}\\y & = & 2c_{2}-a_{2}\end{array}\right\}\]