Una recta $r$ viene determinada por un punto $A\left(a_{1},a_{2}\right)$ y por un vector $\vec{v}=\left(v_{1},v_{2}\right)$, que llamaremos vector director de la recta.

Observa la siguiente animación:

Cualquier punto de la recta, \( X\), o vector posición \(\vec{OX} \) se puede puede poner como la suma de \( \vec{OA}+t\vec{v}\), es decir:

\[\vec{OX}=\vec{OA} +t\vec{v}\]

A esta ecuación se la conoce como ecuación vectorial de la recta.

En la ecuación anterior distinguimos los siguientes elementos:

• \( O\) es el origen de coordenadas y \( X=(x,y)\) es un punto cualquiera de la recta.

• \( \vec{OA}\), \( \vec{OX}\) son los vectores posición de los puntos \(A \) y \(X \)

• \(t \) es un parámetro que va variando para cada punto \(X=(x,y) \) de la recta.

Si trabajamos en coordenadas, la ecuación vectorial se expresaría de la siguiente forma:

\[\left(x,y\right)=\left(a_{1},a_{2}\right)+t\left(v_{1},v_{2}\right) \]

Si en la ecuación vectorial igualamos término a término, obtenemos:

\[\left.\begin{array}{ccc}x & = & a_{1}+tv_{1}\\y & = & a_{2}+tv_{2}\end{array}\right\}\]

Son las ecuaciones paramétricas de la recta.

Si ahora despejamos el parámetro $t$ de las dos ecuaciones:

\[\left.\begin{array}{ccc}t & = & \dfrac{x-a_{1}}{v_{1}}\\t & = & \dfrac{y-a_{2}}{v_{2}}\end{array}\right\}\]

E igualamos las dos expresiones, obtenemos

\[\dfrac{x-a_{1}}{v_{1}}=\dfrac{y-a_{2}}{v_{2}}\]

Es la ecuación continúa de la recta.

Multiplicando en cruz y operando obtenemos una expresión de la forma:

\[Ax+By+C=0\]

siendo

• $A=v_{2}$

• $B=-v_{1}$

• $C=a_{1}v_{2}-a_{2}v_{1}$

Es la ecuación general de la recta.

Observa que si me dan una recta con su ecuación general el vector director sería $\left(-B,A\right)$ y un vector normal a la recta sería el vector $\left(A,B\right)$

Si en la expresión anterior despejamos $y$ obtenemos:

\[y=mx+n\]

donde

• $m=-\dfrac{A}{B}\Leftrightarrow m=\dfrac{v_{2}}{v_{1}}$

• $n=-\dfrac{C}{B}$

Es la ecuación explícita de la recta.

El valor de $m$ es la pendiente de la recta. La pendiente de una recta se puede calcular como el coeficiente de $x$ cuando la $y$ está despejada.

Si $m$ es la pendiente de la recta entonces $-\dfrac{1}{m}$ nos da la pendiente de una recta perpendicular.

Utilizaremos esta forma de la recta cuando los datos que me dan son un punto por el que pasa y la pendiente de la recta.

Recordamos si $\vec{v}=\left(v_{1},v_{2}\right)$ es un vector de la recta que pasa por un punto $A\left(a_{1},a_{2}\right)$, la ecuación en forma continua era

\[\dfrac{x-a_{1}}{v_{1}}=\dfrac{y-a_{2}}{v_{2}}\]

Operando:

\begin{eqnarray*}\left(y-a_{2}\right)v_{1} & = & \left(x-a_{1}\right)v_{2}\\y-a_{2} & = & \dfrac{v_{2}}{v_{1}}\cdot\left(x-a_{1}\right)\end{eqnarray*}

Teniendo en cuenta que $m=\dfrac{v_{2}}{v_{1}}$ obtenemos la ecuación punto pendiente de una recta de la que conocemos un punto por el que pasa, $A\left(a_{1},a_{2}\right)$, y su pendiente, $m$.

\[y-a_{2}=m\cdot\left(x-a_{1}\right)\]