Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, llamaremos producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ al producto de los módulos de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ por el coseno del ángulo que forman los dos vectores.

Lo denotaremos por $\vec{u}\cdot\vec{v}$.

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|\cdot\cos\left(\vec{u},\vec{v}\right)\]

Hay que hacer notar que el producto escalar de dos vectores es un número.

Si $\vec{u}=\left(a,b\right)$ y $\vec{v}=\left(c,d\right)$ la expresión analítica del producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es:

\[\vec{u}\cdot\vec{v}=a\cdot c+b\cdot d\]

Utilizando las dos expresiones anteriores podemos hallar el ángulo que forman dos vectores:

\[\cos\alpha=\dfrac{a\cdot c+b\cdot d}{\left|\vec{u}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|}\]

Decimos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman un ángulo de $90^{\circ}$.

Si forman un ángulo de $90^{\circ}$, entonces el coseno del ángulo que forman es cero y por tanto el producto escalar también es cero.

Por el contrario si el producto escalar es cero, como el módulo de los dos vectores es distinto de cero, el coseno del ángulo que forman ha de ser 0, es decir, los vectores forman un ángulo de $90^{\circ}$ (o $270^{\circ}$).

Por tanto se cumple que

\[\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow\vec{u}\cdot\vec{v}=0\]

Para hallar las coordenadas del vector perpendicular a uno dado, basta con cambiar las componentes del vector de orden y una de ellas además cambiarla de signo, es decir, si tenemos el vector $\vec{u}=\left(a,b\right)$, el vector $\vec{v}=\left(-b,a\right)$ es perpendicular a $\vec{u}$.