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Reglas para derivar

Potencias

  1. $y=k \Rightarrow y'=0$

  2. $y=x \Rightarrow y'=1$

  3. $y=x^n \Rightarrow y'=n\cdot x^{n-1}$

Ejemplos:

Halla la derivada de las siguientes funciones:

  1. $y=5$

  2. $y=x^4$

  3. $y=3x^6$

Irracionales

  1. $y=\sqrt{x} \Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

  2. $y=\sqrt[n]{x} \Rightarrow y'=\frac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$

Estas reglas de derivación se deducen fácilmente de la derivada de la potencia porque $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$  o  $f(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$

Ejemplo:

Halla la derivada de la función $y=\sqrt[5]{x}$

Exponenciales

  1. $y=e^x \Leftrightarrow y'=e^x$

  2. $y=a^x \Leftrightarrow y'=a^x\cdot \ln a$

Ejemplo:

Calcula la derivada de la función $y=2^x$

Logarítmicas

  1. $y=\ln x \Leftrightarrow y'=\frac{1}{x}$

  2. $y=\log_a{x} \Leftrightarrow y'=\frac{1}{x\cdot \ln a}$

Ejemplo:

Calcula la derivada de la función $f(x)=\log_2{x}$.

Trigonométricas

  1. $y=\sin x \Rightarrow y'=\cos x$

  2. $y=\cos x \Rightarrow y'=-\sin x$

  3. $y=\tan x \Rightarrow y'=1+\tan^2{x}=\dfrac{1}{\cos^2{x}}$

  4. $y=\arcsin x \Rightarrow y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

  5. $y=\arccos x \Rightarrow y'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

  6. $y=\arctan x \Rightarrow y'=\frac{1}{1+x^2}$

Ejercicios de derivadas sucesivas

Ya vimos en una sección anterior qué eran las derivadas sucesivas. Ahora que has aprendido a derivar las funciones más habituales observa cómo se calculan las cinco primeras derivadas de las siguientes funciones:

$f(x)=x^5$

$\begin{align*}f'(x)&=5x^4 \\ f''(x)&=20x^3\\f'''(x)&=60x^2\\f^{iv}(x)&=120x\\f^{v}(x)&=120 \end{align*}$

$f(x)=e^x$

$\begin{align*}f'(x)&=e^x \\f''(x)&=e^x\\f'''(x)&=e^x\\f^{iv}(x)&=e^x\\f^{v}(x)&=e^x\end{align*}$

$f(x)=\ln x$

$\begin{align*}f'(x)&=\frac{1}{x}\\f''(x)&=-\frac{1}{x^2}\\f'''(x)&=\frac{2}{x^3}\\f^{iv}(x)&=-\frac{6}{x^4}\\f^{v}(x)&=\frac{24}{x^5}\end{align*}$

$f(x)=\cos(x)$

$\begin{align*}f'(x)&=-\sin(x) \\f''(x)&=-\cos(x)\\f'''(x)&=\sin(x)\\f^{iv}(x)&=\cos(x)\\f^{v}(x)&=-\sin(x)\end{align*}$