Introducción a las derivadas

Seguimos trabajando en el bloque de Análisis Matemático. Después de conocer las características globales de las funciones y estudiar las funciones más habituales con las que trabajamos en Matemáticas continuamos con el cálculo de límites, fundamental para el cálculo de derivadas e integrales. Dentro del Análisis Matemático nos adentramos en el cálculo infinitesimal.

La derivada representa un papel fundamental en las Matemáticas debido a su gran cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología o la economía:

• Cálculo de la velocidad y la aceleración instantánea de cualquier objeto en movimiento.

• Para la optimización de funciones, cálculo de máximos y mínimos. En procesos productivos es fundamental conocer las condiciones en qué podemos obtener los mayores beneficios

• Construir carreteras de modo que las curvas se puedan tomar de la forma más natural posible.

Como muchos de los conceptos matemáticos que estudiamos, el concepto de derivada es fruto de varios siglos de evolución.

Los problemas típicos que dieron origen al "Cálculo infinitesimal" comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 2000 años después.

En lo que atañe a las derivadas son tres problemas los que la dieron origen:

• El cálculo de máximos y mínimos de una función.

• El cálculo de la tangente a una curva en un punto.

• El cálculo del área encerrada bajo una curva.

Siglo XVII

Es en este siglo cuando se hizo el desarrollo definitivo del cálculo diferencial.

Galileo (1564-1642) estudió el movimiento uniformemente acelerado.

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.

A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Las investigaciones de Fermat (1601-1665) hicieron que el concepto de derivada fuera calando en los Matemáticos de la época. 

A mediados de siglo, sin que se tuviera la teoría de la derivación establecida ya se conocían métodos generales para calcular la recta tangente a una curva.

Newton y Leibnitz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat.

Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada $\frac{dy}{dx}$ y el símbolo de la integral $\int$.

Algunos historiadores fechan el inicio de la Ilustración con la publicación de la obra de Newton.  Hecho que nos da una escala de la magnitud de los descubrimientos de Newton y Leibniz.

Os invito a que veáis el siguiente vídeo de la Serie Universo Matemático de RTVE creada por Antonio Pérez. 

Atentos al vídeo, porque Newton tuvo que huir de una pandemia en su época. 18 meses estuvo alejado a causa de la peste...nosotros sólo llevamos un mes.

En este otro vídeo podéis ver, de una forma divertida, la guerra que tuvieron estos dos grandes científicos:

Pero la teoría del cálculo diferencial no había hecho más que comenzar. Euler (1707-1783), Lagrange (1736-1813), Bolzano (1781-1848), Cauchy (1789-1857) o Weierstrass (1915-1897) trabajaron en profundizar y afianzar toda la teoría del cálculo infinitesimal.

Como podrás comprobar a lo largo del tema, las derivadas pueden considerarse una de las herramientas matemáticas más utilizadas en campos científicos, económicos, sociales, naturales, etc.

Nacidas con el fin de estudiar la variación de fenómenos y, en concreto, la variación en el movimiento de los cuerpos, actualmente las derivadas pueden aplicarse para conocer la variación de crecimiento de una población (insectos, mamíferos...), la variación de la eficacia de un producto (bombillas, electrodomésticos...), la concentración de sustancias dañinas para la atmósfera, etc.

Echa un vistazo a este vídeo del canal Derivando para saber qué son las derivadas y para qué sirven: