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Regla de la cadena

 

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones.

$(f \circ g)(x)=f \left( g(x) \right)$

$g$ es la función que se aplica en primer lugar, "la de dentro", y $f$ es la que se aplica en segundo lugar, "la de fuera".

La regla de la cadena sirve para calcular la derivada de una función que viene dada como composición de dos funciones. Para hallar la derivada utilizaremos la siguiente fórmula:

$\left( f\circ g \right)'(x)=f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$

Es decir, derivamos la segunda función ("la de fuera") y luego multiplicamos por la derivada de la primera función ("la de dentro").

Veamos un ejemplo:

Calcula la derivada de la función $y=\cos (x^4)$

Esta función viene dada por la composición de dos funciones $g(x)=x^4$ y $f(u)=\cos u$

La derivada es:

$y'=-\sin (x^4) \cdot 4x^3$

Ejemplos

Intenta hacerlos tú primero antes de mirar las soluciones.

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

$y=\sqrt[3]{x^2}$

$y=\frac{1}{\sqrt{5-x}}$

$y=(3x^4-2x^2+x-1)^3$

$y=\sqrt{\ln x}$

$y=\cos (5x^2)\cdot e^{2x}$

$y=\tan(3x-1)^2$

$y=\ln \frac{1}{x}$

¡Ojo!

Tened cuidado porque no es lo mismo $\cos^2{x}$ que $\cos{x^2}$

En el primer caso, es el coseno el que está elevado al cuadrado y en el segundo es la $x$ la que está elevada al cuadrado.

  • Si $f(x)=\cos^2{x}=\left(\cos{x} \right)^2 \Leftrightarrow f'(x)=2\cos{x}\sin{x}$

  • Si $f(x)=\cos{x^2}=\cos{(x^2)} \Leftrightarrow f'(x)=-\sin{x^2}\cdot 2x$