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Derivada de la función potencial-exponencial

 

Queremos derivar una función del tipo $y=f(x)^{g(x)}$.

Por comodidad, escribiremos $f$ para referirnos a $f(x)$ y $g$ para referirnos a $g(x)$.

Para derivar este tipo de funciones, tomamos logaritmos en los dos miembros de la función:

$\ln y=\ln f^g$

Aplicamos las propiedades de los logaritmos:

$\ln y=g\cdot \ln f$

Derivamos en ambos lados de la igualdad:

$\frac{y'}{y}=g'\cdot \ln f+g \cdot \dfrac{f'}{f}$

Despejamos la derivada de y:

$y'=y\cdot \left(g'\cdot \ln f+g \cdot \dfrac{f'}{f} \right)$

Ejemplo

Calcula la derivada de la función $y=\cos x^x$, que también podemos escribir como $y=(\cos x)^x$:

Tomamos logaritmos y aplicamos los pasos que hemos visto en el punto anterior:

$$ y=\cos x^x \\ \ln y=\ln \cos x^x \\ \ln y=x \ln \cos x \\ \frac{y'}{y}=\ln \cos x+x \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} \\ y'=\cos x^x \cdot \left(\ln \cos x-x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} \right)  $$

Ejercicios

Calcula las siguientes derivadas:

  1. $y=(\sin x)^x$

  2. $y=x^x$

  3. $y=(3x^2-2)^{2x-1}$

  4. $y=(\tan x)^{1/x}$