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Crecimiento de una función en un punto. Derivada

Entendemos el concepto de velocidad instantánea

Si nos dicen que una persona ha realizado un viaje de 500 km. no tenemos información suficiente para conocer la velocidad a la que lo ha realizado, sólo sabemos que la variación del espacio ha sido de 500 km.

Si además ha realizado el viaje en 5 horas, podemos afirmar que la velocidad media ha sido de 100 km/h, pero no podemos conocer la velocidad en un punto concreto del recorrido.

Si estamos interesados en conocer la velocidad en un instante determinado, por ejemplo, en el kilómetro 100 del viaje, debemos conocer cuál es la variación instantánea del espacio en ese punto y ahí entrará en juego la definición de derivada.

Vamos a visualizarlo en la siguiente construcción de GeoGebra.

Visualizamos el concepto de derivada

Mueve el deslizador $d$, o haz clic en los botones más y menos, o mueve el punto $B$ para ver cómo varía la pendiente de la recta secante que pasa por $A$ y $B$.

https://www.geogebra.org/m/nkt6h9de (Ventana nueva)

Definición de derivada en un punto

Si hemos comprendido bien que es la tasa de variación media (velocidad media) y el límite de la tasa de variación media, entonces estamos en condiciones de comprender el concepto de derivada.

La derivada en un punto $a$ se va a definir cómo el límite de la tasa de variación media de una función cuando el intervalo de estudio se acerca al punto $a$.

La derivada en un punto $a$ se denota por $f'(a)$ y se calcula:

$f'(a)=\lim \limits_{h\to 0}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$

Este límite también se puede escribir como:

$f'(a)=\lim \limits_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}$

Si existe este límite y es finito, diremos que la función $f$ es derivable en $x=a$.

Hay distintas notaciones que solemos utilizar para la derivada:

$f'(a)=Df(a)=\dfrac{df}{dx}(a)$

Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de la función en un punto $a$ es la pendiente de la recta tangente de la función en el punto $a$.

Por tanto, utilizando la ecuación punto-pendiente de una recta podemos hallar la ecuación de la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $x=a$:

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

Ejemplos

1. Halla la derivada de la función $f(x)=x^2+3$ en el punto $x=2$.

2. Halla la derivada de la función $f(x)=\frac{2}{x}$ en $x=3$.

3. Aplica la definición de la derivada para calcular la derivada de la función $y=-x^2+3x-1$ en $x=1$. Calcula la ecuación de las rectas tangente y normal a la función anterior en $x=1$. Representa la función y las rectas.