Asíntotas
Imaginaos que vamos a comprar un regalo a un amigo por valor de 200 euros, sin saber los que somos para poner dinero. Está claro que si se lo compro yo solo tocaré a 200 euros, pero si somos dos amigos tocaremos a 100 euros cada uno, si somos cuatro amigos tocaremos a 50 euros cada uno. Si por alguna extraña razón fuéramos doscientos amigos, sólo tocaríamos a un euro y si fuéramos cuatrocientos amigos sólo pagaríamos medio euro.
En la siguiente gráfica puedes ver la evolución de lo que tiene que pagar cada alumno en función de los amigos que son:
Si te fijas cuántos más amigos seamos menos dinero pagamos, y la cantidad de dinero se aproximará a cero, aunque nunca será cero, porque por muchos amigos que seamos, siempre tendremos que pagar algo.
Hay funciones en las que, aunque sólo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienen ramas con una tendencia marcada.
En este tema nos interesa identificar las tendencias de la gráfica de una función, por tanto, vamos a dar una definición poco rigurosa y dejaremos la definición técnica para cursos posteriores..
Una asíntota es una recta a la cual la función se va acercando cada vez más cuando una de las variables, la $x$ o la $y$ se alejan al infinito.
Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.
ASÍNTOTAS VERTICALES
Cuando una función no está definida en un punto, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada más grandes (o cada vez más pequeñas), entonces, la recta vertical que pasa por ese punto la llamaremos asíntota vertical.
Decimos que la recta $x=a$ es una asíntota vertical cuando la función se va acercando a esta recta cuando la variable $y$ tiende a infinito.
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Ahora veamos la tendencia de la función cuando la variable independiente se hace muy, muy grande, o muy, muy pequeña. Si las imágenes de estos puntos tienden a acercarse a un valor concreto sin llegar nunca a tomarlo entonces la recta horizontal que pase por ese valor diremos que es una asíntota horizontal.
Decimos que la recta $y=b$ es una asíntota horizontal cuando la función se va acercando a la recta cuando la variable $x$ tiende a infinito.
En la siguiente gráfica podéis ver cómo la recta vertical $x=1$ es una asíntota horizontal y la recta horizontal $y=1$ es una asíntota horizontal.
ASÍNTOTAS OBLICUAS
Diremos que una recta es una asíntota oblicua cuando la función se acerca a dicha recta cuando tanto $x$ como $y$ tienden a infinito.
Esta recta no es ni vertical ni horizontal, tiene por ecuación $y=mx+n$ con $m\neq0$.
En el siguiente ejemplo podéis ver que la recta $y=x+1$ es una asíntota oblicua:
