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Modelización 4º ESO

Población

El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función:

$$P(t)=\frac{15+t^2}{(t+1)^2}$$

donde $t$ se mide en años transcurridos desde $t=0$.

Calcula:

  • La población inicial.

  • El año en el que se alcanzará la mínima población. ¿Cuál será el tamaño de esta?

  • ¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?

Bacterias

El número total de bacterias (en miles) presentes en un cultivo después de $t$ horas viene dado por la función:

$$N(t)=2t(t-10)^2+50$$

  • Durante las 10 primeras horas, ¿en qué instantes se alcanzan la población máxima y mínima?

  • En ese periodo de tiempo, ¿en qué intervalos el número de bacterias crece o decrece?

Listas de espera

El servicio de traumatología de un hospital va a implantar un nuevo sistema que pretende reducir a corto plazo las listas de espera. Se prevé que a partir de ahora la siguiente función indicará en cada momento ($t$, en meses) el porcentaje de pacientes que podrá ser operado sin necesitada de entrar en lista de espera:

$$P(t)=\begin{cases} t^{2}-8t+50 & 0\leq t\leq10\\\frac{38t-100}{0,4t} & t>10 \end{cases}$$

  • ¿A partir de qué momento crecerá este porcentaje? Por mucho tiempo que pase, ¿a qué porcentaje no llegará nunca?

  • Haz un esbozo de la gráfica de $P$ a lo largo del tiempo.

Beneficios

Los beneficios (en millones de euros por año) estimados para una empresa se ajustan a la siguiente función:

$$B(x)=\frac{5x}{x^2+4} \text{, con }x\geq 0$$

Donde $B$ representa los beneficios de la empresa y $x$ los años transcurridos desde el momento de su constitución $(x=0)$.

  • Dibuja la gráfica de la función.

  • Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios. ¿Qué información nos da sobre la evolución de los beneficios a lo largo del tiempo?

  • ¿Al cabo de cuánto tiempo obtiene la empresa el máximo beneficio?, ¿cuál es ese beneficio máximo?

Más beneficios

La función

$$f(x)=\begin{cases} 20x^{2}-20x+32 & 0<x\leq 1\\ \dfrac{90x-45}{x+8}+27 & x>1 \end{cases}$$

representa el beneficio, en miles de euros, de cierta empresa transcurridos $x$ meses.

  • Dibuja la gráfica de la función.

  • Estudia razonadamente la continuidad de la función $f(x)$.

  • Halla los intervalos donde se produce un aumento del beneficio y una disminución del beneficio. ¿En qué momento el beneficio es mínimo?

  • Determina el beneficio de la empresa a muy largo plazo.

¡He escrito un libro!

Pablo ha escrito un libro sobre la historia de su familia y quiere imprimirlo para regalarlo a sus familiares por Navidad. Una empresa editorial le ha dado un presupuesto que dice lo siguiente:

El coste inicial para iniciar la impresión del libro es de 15€ y el precio de impresión de cada libro asciende a 5€ si se imprimen hasta 30 unidades y a 3€ si se imprimen más.

  • Calcular la función del coste total en función del número de libros impresos, $f(x)$.

  • Representar la gráfica de la función $f(x)$.

  • Si Pablo invierte 180€, ¿cuántos libros se imprimen?

  • En dicha empresa, ¿es más barato imprimir 25 libros o imprimir 40? Razona la respuesta y relaciónala con la gráfica de $f$.