Funciones racionales

Una función racional es aquélla que es cociente de dos polinomios:

$$f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$$

Las características generales son:

a) El dominio de definición son todos los números reales menos las raíces del denominador.

b) Son discontinuas en los valores de $x$ que son las raíces del denominador.

c) Tienen asíntotas verticales en cada raíz del denominador que no lo sea del numerador.

d) Tiene asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el denominador.

e) Tiene asíntotas oblicuas si el grado del numerador es uno más que el del denominador.

En el ejemplo anterior puedes ver una función racional cuyo dominio son todos los reales excepto 1 y -1 donde presenta asíntotas verticales. La recta $y=1$ es una asíntota horizontal

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dentro de las funciones racionales, destacamos las funciones de proporcionalidad inversa.

Se llaman funciones de proporcionalidad inversa a aquellas cuya ecuación es de la forma $y=\frac{k}{x}$. Sus gráficas son hipérbolas.

También son hipérbolas las gráficas de las funciones 

$$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$$

Observa como es la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, para ello mueve el deslizador y observa qué ocurre a la gráfica cuando varía el valor de $k$:

¿Puede valer k cero?

¿Qué ocurre si k es negativo?

¿Por qué puntos pasa la función?

Ya sabemos representar funciones de proporcionalidad inversa. Si lo que queremos es representar cualquier hipérbola, es decir, funciones racionales con el numerador de grado cero o uno y con el grado del denominador uno.

$$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$$

Hacemos la división y eso nos da un cociente, $C(x)$ y un resto, $R$.

Con lo que:

$$f(x)=\dfrac{D(x)}{d(x)}=C(x)+\dfrac{R}{d(x)}$$