Fábrica de palillos

Un matemático que trabaja para un empresa de calidad determina que los gastos de producción de palillos vienen dados por la siguiente función:

$$G\left(x\right)=2000+\dfrac{1}{200000}x^{3}$$

Sus ingresos se rigen por la fórmula:

$$I\left(x\right)=8000+2x-\dfrac{1}{1000}x^{2}+\dfrac{1}{200000}x^{3}$$

Encuentra la función que da los beneficios.
Dibuja la gráfica de dicha función.
¿Para qué valores de producción de palillos no hay beneficios?
¿Cuál es el número de palillos que hay que fabricar para obtener el beneficio máximo?

Retroalimentación

Lo complicado de estos ejercicios es, para el alumnado, poner las escalas adecuadas en los ejes.

Construimos las gráficas de las funciones de gastos e ingresos, $G(x)$ e $I(x)$.
En la barra de entrada restamos las dos funciones para obtener la función beneficio, $B(x)$.
En la ventana algebraica podemos ver la función de beneficios pero sin simplificar, si queremos simplificarla, vamos a la vista CAS y escribimos $B$, me crea una nueva función, igual que la anterior, pero simplificada.
Antes de elegir la escala, calculamos el vértice para hacernos una idea de la escala que hemos de elegir.

Extremo(<función>)

Si todo ha salido correcto nos ha creado el punto $A=(1000,7000)$.
En el eje horizontal decidimos que la escala sea de $200$ y en el eje vertical de $500$.
Vamos a cambiar las propiedades de los ejes para que todo se vea correctamente.
- Sobre cualquier lugar de la vista gráfica, con el botón derecho, elegimos la opción Vista Gráfica.
- En la pestaña EjeX, elegimos Distancia=200.
- En la pestaña EjeY, elegimos Distancia=500.
- En la pestaña Básico ponemos que la relación entre los Ejes sea de $200:500$ y GeoGebra escribirá $1:2.5$. Esto se hace para que la cuadrícula aparezca con cuadrados en lugar de rectángulos, tal como lo haríamos en papel.
- En la pestaña Cuadrícula, decidimos que tamaño queremos para la cuadrícula. En nuestro caso también ponemos $200:500$.
Quizá, tengáis que hacer zoom ahora ver la gráfica completa.
Esta función sólo tiene sentido para valores positivos de $x$, de modo que la dibujamos sólo en el intervalo $[0,\infty)$.
Resolvemos la ecuación $b(x)=0$ y ya está todo listo para responder a las preguntas del ejercicio.

Caso práctico

La función de beneficios $f$, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida $x$, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por $f\left(x\right)=-2x^{2}+36x+138$ con $x\geq0$.

Determina la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcula dicho beneficio óptimo.
Calcula $f'(7)$ e interpreta el resultado.
Dibuja la función de beneficios. ¿Para qué valores de la inversión, $x$, el beneficio es de $138000$ euros?